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科學家為什么鐘情藝術?因為數學和繪畫、音樂有相似的美感

文章來源:未知

作者:老鐵SEO

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2019-10-20

一種觀念可以是美嗎?數學家和科學家們似乎總愛賦予一些概念美的內涵:一段數學證明要么是“漂亮”或者“優雅”的,要么就是“瑣碎”或“無聊”的。甚至有一些著名的科學家斷言數學之美可以引導我們通向真理。如果是這樣,那么一般人能感受到數學之美嗎?

今年在2019 年4月 Cognition 雜志上發表的一篇名為《Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas》論文中,研究者們采用了相似性判斷的方法,讓參與受試者分別就風景繪畫和古典音樂作品,與一組經典數學證明之間的相似性進行了打分,證明了不同人群在數學和藝術審美中存在相一致的共識,并給出了數學和藝術中共通的審美維度:優雅、深刻和清晰。

撰文 | 十三維

編輯 | 榮玉琪

證明與風景

音樂能激發或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學使人獲得智慧,科學可改善物質生活,但數學能給予以上的一切。—— 克萊因(F. Klein)

在數學被稱為自然科學的皇后,被科學家們冠以嚴格、精確之名,成為探索世界必不可少的工具的同時,還有一種聲音一直在述說著數學的簡潔與優美。

在數學與藝術的關系中,我們可以想到畢達哥拉斯與音樂、想到達·芬奇與繪畫。還有美國著名學者、認知科學家侯世達(Douglas R. Hofstadter)在《哥德爾、艾舍爾、巴赫:集異璧之大成》中為我們描述的一條貫穿科學與藝術的永恒金帶:從芝諾悖論到莫比烏斯帶,從環食蛇到DNA的雙螺旋,從螃蟹卡農到六祖慧能,從埃舍爾的版畫到哥德爾不完備定理,所有一切都通過自指與遞歸結構這同一個母題巧奪天工般地串聯起來了。

讀過《GEB》這本書的人,都絲毫不會懷疑,埃舍爾版畫中帶來的撲面而來的奇異與震撼,與巴赫在哥德堡變奏曲中展現賦格音樂的精巧與奇妙,都來自這一自指遞歸結構。

人們不禁要問,數學和美究竟是一種什么樣的關系?一個數學定理所展現的美,和一幅風景畫的美,和一段古典音樂的旋律之美,究竟有什么異同?

順著這樣的思路,兩位分別來自英國巴斯大學和美國耶魯大學數學家研究了這個問題,找到了審美直覺的共通維度,論證了數學美和藝術美在不同人群之間存在共識,且隨著數學水平提高,審美判斷也會提高并與專業數學家趨于一致。

論文題目:

Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas

論文地址:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010027719300927

測試你的數學審美

在詳細介紹之前,對應研究,我們可以對自己的數學-審美水平做一個小測試。

下面是無窮等比數列求和公式,閱讀并理解它:

圖1:無窮等比數列求和公式

問下自己,在下面兩幅風景畫中,對于這個公式,你覺得最像下面哪一幅?

第一幅畫是“ Looking Down Yosemite Valley”,由德裔美國風景畫家 Albert Bierstadt 所畫地處美國加州優勝美地國家公園的峽谷。Yosemite 曾作為 MAC OS 的一個版本,右邊是著名的酋長巖。

圖2:Looking Down Yosemite Valley

第二幅畫是“The Heart of the Andes”,是美國風景畫家 Frederic Edwin Church 在南美旅行后所畫的安第斯山脈腹地,他受到德國著名博物學家亞歷山大·馮·洪堡的影響,以藝術表現自然之愛。

圖3:The Heart of the Andes

在選擇后,你的審美判斷更接近一般水平還是專業數學家水平,答案會在文中揭曉。

數學與藝術之美

研究者們在2019 年4月 Cognition 雜志上發布的這篇名為《Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas》的論文,對于“一個觀念可以是美的嗎?”這個問題給出了肯定的答案:數學證明是美的,即使是非專業群體也會在繪畫和音樂中體驗到相似的數學之美,有著彼此一致的審美直覺。

研究者通過采用了相似性判斷[1]的方法進行研究。要求參與受試者對不同藝術作品與一組經典數學證明的相似性進行打分。在前兩項研究中,分別考察了與風景畫和古典音樂作品相似性的對比情況。

與風景繪畫的相似性對比

在與風景畫的對比研究中,研究者招募了300名參與者,稱之為MT樣本[2],其中有99名具備大學數學水平,稱為經驗豐富樣本。

所有參與者都需要閱讀并理解以下四個數學證明過程:無窮等比求和(Geometric)、高斯求和(Gauss)、鴿籠原理(Pigeonhole)、平方求和(Faulhaber),然后將證明過程與四幅不同山水風景畫相似度進行打分(0-10),并進行排列。

對 MT樣本,表1基于以下四個指標,給出了證明與繪畫的相似性評分的結果:

圖4:數學論證與繪畫的相似性比較評分

對于以上結果,為了搞清參與者之間的判斷是否隨機,研究者使用標準分數 (z-scores) 計算了最高和最低配對排名的差異,大約為0.85 標準差,這屬于標準中較大的效應;并計算了評分者之間的 alpha 信度:α= 0.93,表明這些參與者之間的審美判斷一致性很高。

隨后,研究者通過將 MT 樣本、經驗樣本、專業樣本進行橫向對比,考察是否存在相似性(具體數據請看原論文附錄),結果表明三個群體的審美判斷在整體性呈正相關,然而在不同群體間,彼此共識又存在差異。

例如, MT 樣本的參與者更確信無窮等比求和類似于Yosemite,然而專業樣本卻有43%的數學家認為它更像Andes。到此,你已經能看出你開始的測試結果了。

——如果你有較高的數學訓練,你更可能選擇第二張圖。

對證明與繪畫的相似性測試結果表明,二者存在共通的審美維度,業余與專業數學家之間也存在相同的審美共識。

與古典音樂的相似性對比

在第二項研究中,研究者測試了四組數學論證與古典音樂作品相似性情況。選用了舒伯特、巴赫、貝多芬和斯特拉文斯基的音樂作品。

結果表明,對音樂作品的總體相似性評分(M= 4.66)要遠高于繪畫(M= 2.66),這證明了人們常強調的“音樂更具有數學性”的觀點。然而,在對音樂組進行了與繪畫組相同的一致性與信度檢驗后,發現結果雖然并非隨機,卻比繪畫組數值要更低。

研究者認為,音樂組的共識度不如繪畫組那么強烈。這可能由于抽象感知本身就不如具體刺激那么更容易形成共識[3],音樂感知會隨著時間衰減,難以形成穩定的審美直覺,從而導致參與者對判斷的不確信。

圖5:數學論證與古典音樂的相似性比較評分

在音樂組,相對 MT 樣本,經驗樣本和專業樣本排名更加相似,呈現顯著的強相關性。這說明數學的審美直覺可能隨著高等數學的訓練而發展。

先前的美學研究支持專業知識可以影響審美判斷的觀點,例如攝影專業人員處理照片的能力更高,更喜歡新穎和不確定的照片[4],藝術專家在關注藝術品時更有可能體驗到審美趣味,更不容易陷入困惑[5]。

對于數學專業知識的影響猜測,下面會進行更細致的論證。

共通的審美之維

既然已經證明了數學和藝術在審美中的共識,那么參與者們是如何達成這種審美共識的呢?

在傳統美學研究中,美學家們認為存在著不同審美經驗維度。人們根據藝術品的分類性質或喚醒潛力相關的高階性質做出美學判斷,如復雜性與新穎性[6]。但這些屬性很難直接適用于數學之美。

為此研究者選取了英國數學家哈代提出的數學之美的六個核心維度[7],并將其轉換分解成更適合藝術品的近義詞,最終一共九個維度:嚴肅(serious)、普遍(universal)、深刻(profound)、新穎(novel)、清晰(clarity)、簡潔(simple)、優雅(elegant)、精細(intricate)和復雜(sophisticated)。

同樣,研究者招募了300人的MT樣本,包括194人業余樣本、104人經驗樣本,排除了參與過先前測試94人,對包括整體的美一共十個維度,進行了任務測試。

測試包含兩部分,首先要求一部分參與者與第一項研究類似,對選取的四幅畫從十個維度進行打分評級(“在你的判斷中,以下描述在多大程度上適合這幅畫?”),其次對另一部分參與者則要求與前兩項研究相同的標準進行打分。

混合樣本的結果如圖表3所示。

圖6:從9個審美維度,比較被試對繪畫與數學論證的判斷

通過對審美細分維度的評分計算表明,參與者之間評分的一致性相當高,對繪畫和數學證明alpha信度分別是0.98和0.97。

研究者還使用兩個分層回歸模型(hierarchical regression models)研究不同審美維度在藝術和數學之間跨領域影響情況。結果表明,對繪畫和數學最重要的三個審美維度分別是優雅、深刻和清晰,其中優雅是對數學證明最重要的因素。有三個維度對繪畫有很強影響:簡潔(繪畫負面,證明正面)、普遍(正面)、嚴肅(負面)。剩余三個維度在這兩個領域則都沒什么作用。

在對這兩個領域進行相關性檢驗后,結果支持參與者在審美判斷中使用了相同的維度,并且表明跨領域審美判斷趨于相似性的評分是由數學經驗豐富的樣本造成的,而非經驗不足樣本。

例如,包括對繪畫,專業組中數學家們主要依靠深刻、簡潔和優雅進行審美判斷,而在非專業組則幾乎一邊倒地依賴于優雅,以及對復雜程度的重視。

這個結果這進一步支持對數學美的直覺會隨著高等數學經驗而變得敏銳的觀點。

研究者們還通過研究不同審美維度,對先前繪畫組測試情況進行了預測和建模,結果表明其顯著相關,說明此審美維度模型具有很強的預測性。

美從何來?

綜述以上研究,論文證明了在不同群體之間對數學審美直覺存在共識,參與者主要依靠相同的三個維度來評價藝術和數學美——優雅、深刻和清晰,然而,隨著高等數學訓練提升,專業組會越來越用其他維度進行判斷,例如深刻和清晰,而非大多數參與者只依賴的優雅。

隨著數學能力的提升,人們會改變審美直覺向數學家傾向發展。這與其他領域內容相似度判斷研究一致:不僅專業知識會改變我們在分類中使用的維度[8],在傳統美學研究中,同樣發現專業藝術家能體驗到更細微的審美情感[9]。

這種因知識改變知覺和審美的現象被稱為自上而下(Top-down processing),也對數學的審美直覺之所以會影響對藝術品的審美判斷根本原因。

例如分維度來看,對于簡潔,已有研究解釋了簡單性如何指導人們進行更廣泛的判斷[10],但人們對如何判斷優雅或深刻等這類審美品質卻知之甚少。審美中情感和語義的作用,似乎在不同領域有不同程度的重要影響[11],例如在攝影領域語義和內容是影響審美判斷更重要的因素[12]。

那么針對數學,或許可以拋開對細分審美維度領域考察,直接從知覺研究的格式塔心理學中獲得整體啟示。

格式塔心理學

神經科學家研究發現,在進行物體識別時,知覺會首先對幾種基本三維物體(Geons,幾何子)進行識別:圓柱體、圓錐體和長方體。譬如一個帶把的手提箱,就會首先被識別為長方體和圓柱體的部分[13]。

圖7:基于三維物體的識別

也就是說,在進行基本物體識別時,會以基本圖形整體方式進行識別,而不是孤立的點、線或者曲面。在這種情況下,大腦視覺皮層特征檢測器對應的細胞集群會同步激活并放電,因此我們就看到了整個的物體。

格式塔中有很多原則,其中簡單率 (Principle of Pragnanz,即當大腦感知環境時,會選取最簡潔-最可能的方式對場景進行解釋)可以直接解釋審美的簡潔性,而配置優勢效應(含有基本特征元素和更復雜的圖形的更容易被察覺),則可能進一步解釋深刻——當復雜圖案因為專業知識能被理解后,那么在整體審美知覺中就會增加“額外信息”,以演化心理學來看,這種獲得前所未有的新奇(新穎性)將毫無疑問成為一種良好的生存適應。所以人類需要深刻。

通過格式塔原則,可以解釋為什么數學尤其對幾何圖形的審美是跨文化人類共通的,也解釋了為什么數學審美會影響藝術尤其造型藝術(包括繪畫、雕塑等)。那么對于音樂呢?實際上對大腦而言,圖形和聲音只是信息兩種不同的模態,在進行處理時都是統一的神經電信號。例如,在語言學中,有所謂的 “Bouba-kiki 效應”,在下圖中,有超過90%的人都會將兩種不同的圖形正確對應到 Bouba 和 kiki 兩個單詞的發音上。這種人類被稱為“跨模態抽象”的能力,有研究認為很可能來自大腦中的鏡像神經元[14]。

圖8:90%的人都認為左圖對應 kiki 發音,右圖對應 Bouba 發音。你的跨模態是否屬于 90%的人?

也正因為如此,杰出的藝術家們往往也具備超常的通感和聯覺能力。

如果從演化視角和認知視角來看,那么可以認為審美是演化的產物[15],人類種種審美傾向都是適應性的副產品。例如人類更喜歡對稱的面孔,因為對稱能發出健康信號[16],人類喜歡大草原般的景色,因為它們通常有水和能居住的庇護所[17]。

在其它情況下,審美偏好往往與更抽象的刺激目標相關,例如在尋求最佳新穎程度時對視覺刺激的編排順序[18]。從這些刺激特性建構物體是自適應的,就如視覺機制原因一樣:這種建構方式有助于有機體理解并探索周邊環境。

并且,人們從自然習得的適應性,即生物演化的原始心理素材,也會因為繼續通過文化演變,被推廣到更多文化產物中去,如繪畫、設計和藝術[19]。當然,這其中也會包括人們對解釋的偏好,人們會更偏好引導我們走向真實(可能性高)和更有用(更具指導和理解)的解釋[20]。一些學者甚至研究指出,人們更偏好選擇中等復雜程度的解釋[21],它往往具有在解釋范圍、抽象水平更加適中等“解釋美德”[22]。

也許,真只是一種美

真之所以為真,是因為在它周圍洋溢著美。——愛倫·坡(Edgar Allan Poe)

在將數學審美直覺與藝術聯系起來后,我們不禁想起數學與科學之間的關系。在數學實在主義看來,數學不僅是導向真理,數學就是現實的根基,組成了整個宇宙本身。從畢達哥拉斯到哥德爾、到彭羅斯和泰格馬克,都持有這種觀點。因此,最終我們會發現,數學處于藝術與科學、美與真的焦點中心,是真正意義上“第三種文化”的樞紐。

那么我們該如何看待真與美、科學與藝術之間的關系呢?

英國詩人濟慈(John Keats)說:“美即是真,真即是美。”

從本文的研究來看,可以說驗證了數學家們有關“美引導向真理”的審美直覺??墒?,這種說法上的等同,并沒有在根本上解決問題:美和真,到底哪一個更本源?

如果只能選一個,那答案也許就是美。

從演化視角和格式塔心理學,我們已經知道,在先于邏輯理性判斷之前,生物體有的只是基于審美知覺對周圍環境的適應性。而人類大腦中負責決策的前額葉皮層在晚期智人階段才漸漸成熟起來的。

神經學家安東尼奧·達馬西奧(Antonio Damasio)在《笛卡爾的錯誤》一書提出,生物軀體標記了情緒,情緒位于推理回路中,情緒可以幫助決策,而不是像大多數人所認為的那樣只會干擾決策;相反,情緒障礙的人會失去決策能力。這就說明了作為審美愉悅的情緒體驗,是人類推理決策的前提。

在萊考夫的認知語言學(Cognitive linguistics)中,甚至認為人的理性能力來自大腦種種范疇化(大腦自發的“聚類”過程,范疇是對存在的基本分類)活動和幾種基本意象圖式(人基于與現實空間互動獲得的基本認知結構,例如“原因-結果”),而它們都來自于人現實的軀體經驗。“理性,是具體化和富于想象的”[23]。而這個過程,對于侯世達來說,就是類比[24]。原來,在推理的背后,是無窮無盡富于詩意的比喻和隱喻在支持。

所以我們能理解,為什么在邏輯因果之外,世界還存在隨機和概率,為什么在哲學中還存在辯證邏輯,現代邏輯中還存在多值邏輯、弗協調邏輯、時序邏輯、量子邏輯等非線性因果邏輯。

因此,如果我們把通常意義上的真當做“邏輯理性”的產物,那么美就是“生態理性”的產物。

在源頭上,美的感受先于真的判斷。如果以物理學比喻,真就像是混沌系統的吸引子,一片水波上的渦紋。也正因為如此,所有經驗科學理論,都不是真理,只是一種近似模型,會隨著科學發展根據包括若干審美判斷的解釋原則不斷修正(其中包括簡潔、經濟、新穎及預測性等)。

不知不覺中,在量子不確定性和非線性不確定性的復雜時代,科學家們已經慢慢接受了科學的模型觀,取代了之前在經典物理時代的客觀規律觀。

真理這個詞,也實際成為了某種象征,即使科學家們尤其物理學家還在努力進行著終極理論之夢。

已故的物理學家霍金,曾在2002年在中國舉辦的世界數學家大會做出題為“哥德爾與M理論”的報告,指出目前所有物理理論“既不協調,又不完善”,說明在物理學領域很可能存在類似哥德爾不完備性定理的規律,因此不太可能建立一個單一的能協調和完善描述整個宇宙的理論。

2018年來華的《GEB》的作者侯世達教授,向記者介紹了自己在個人主頁上歸納的個人風格和目標:

永遠地探尋美。

那么,真存在嗎?當然存在,因為美存在。

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